Ôn tập cực trị hình học lớp 12 – Giải nhanh đề thi THPT Quốc Gia
Các bài toán cực trị hình học lớp 12 là một phần trọng tâm trong đề thi THPT. Bài viết này giúp bạn hệ thống đầy đủ lý thuyết, dạng bài, phương pháp và ví dụ kèm lời giải chi tiết.
Mục lục nội dung
- 1. Cực trị hình học là gì?
- 2. Các dạng bài cực trị hình học lớp 12
- 3. Phương pháp giải hiệu quả
- 4. Ví dụ minh họa có lời giải
- 5. Mẹo ghi điểm trong đề thi
- 6. Tài liệu luyện tập miễn phí
1. Cực trị hình học là gì?
Cực trị hình học là dạng toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng hình học như: khoảng cách, diện tích, thể tích, độ dài, chiều cao… dưới các điều kiện ràng buộc không gian. Dạng toán này kết hợp giữa hình học, giải tích và đại số.
2. Các dạng bài cực trị hình học lớp 12
- Dạng 1: Tìm điểm có khoảng cách nhỏ nhất hoặc lớn nhất đến điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
- Dạng 2: Tối ưu diện tích tam giác, hình chiếu hoặc hình phẳng.
- Dạng 3: Tối đa/thấp nhất thể tích tứ diện, lăng trụ, khối đa diện.
- Dạng 4: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện hình học đối xứng, vuông góc, giao điểm.
- Dạng 5: Tối ưu độ dài đường gấp khúc, dây cung, hình chiếu trong không gian.
3. Phương pháp giải hiệu quả
Tuỳ từng dạng bài cụ thể, có thể áp dụng một hoặc nhiều phương pháp sau:
- 📐 Tọa độ hóa: Gắn hệ trục Oxyz, đặt tọa độ điểm biến để xây dựng hàm số cần tối ưu.
- 🧮 Đạo hàm hàm một biến: Tính đạo hàm – giải phương trình – kiểm tra điều kiện biên.
- 📊 Áp dụng bất đẳng thức: AM-GM, Cauchy-Schwarz để giới hạn giá trị cực trị.
- 📝 Dựng hình, phân tích hình học: Kết hợp tính chất hình học, dựng hình hỗ trợ.
4. Ví dụ minh họa có lời giải
Bài toán: Trong không gian Oxyz, tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P): x + y + z = 6 sao cho khoảng cách từ điểm A(1,2,3) đến M là nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
- Dùng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
d = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²) - Thay vào:
d = |1 + 2 + 3 - 6| / √(1² + 1² + 1²) = 0 / √3 = 0 - Vì khoảng cách bằng 0 ⇒ điểm M trùng hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P).
- Hướng AM ⊥ mặt phẳng nên có dạng (1,1,1), giải hệ phương trình:
- x + y + z = 6
- AM // vector pháp tuyến (1,1,1)
5. Mẹo ghi điểm trong đề thi
- 🖋️ Viết đúng và rõ ràng phương trình mặt phẳng, tọa độ điểm.
- 🧠 Đừng quên kiểm tra giá trị biên nếu biến chạy trong đoạn.
- 📍 Ghi rõ điều kiện: thuộc đường, thuộc mặt, vuông góc, đối xứng.
- 🎯 Biết chuyển bài từ 3 biến về 1 biến để dễ đạo hàm.
- ⏳ Thành thạo dạng này có thể giúp tiết kiệm đến 5 phút/bài.
6. Tài liệu luyện tập miễn phí
👉 Tải ngay bộ 10 đề ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán 2025 chất lượng cao, có đủ chuyên đề: cực trị, hàm số, tích phân, xác suất:
📥 Tải 10 đề ôn thi THPT Quốc Gia 2025 môn Toán (Google Drive)
Gợi ý: Học kỹ phần cực trị hình học sẽ giúp bạn đạt điểm cao hơn trong phần Hình không gian và tránh mất điểm đáng tiếc. Ôn luyện đều, kết hợp thực hành, bạn sẽ làm chủ dạng toán này.
✅ Chúc bạn ôn tập tốt và tự tin bước vào kỳ thi THPT Quốc Gia!
